设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B...

设p＞0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y²=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）．试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程．

先设出A，B的坐标，把直线与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理可分别求得y1+y2和y1y2及x1+x2和x1x2的从而求得•的值，结果为0，可推断出OA⊥OB，进而可知O必在圆H的圆周上，又根据H是AB的中点，进而可表示出圆心的坐标，求得|OH|的表达式，进而根据二次函数的性质求得|OH|即圆的半径的最小值，即进而可知当a=0时，圆的面积最小．【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则其坐标满足消去x的y2-2ay-4=0，则，因此•=x1x2+y1y2=0 ∴OA⊥OB，故O必在圆H的圆周上，又由题意圆心H是AB的中点，故，由前已证OH应是圆H的半径，且|OH|= 从而当a=0时，圆H的半径最小，也使圆H的面积最小．

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考点分析：

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设函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）
（1）求导数f′（x）并证明f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂；
（2）若不等式f（x₁）+f（x₂）≤0成立，求a的取值范围．

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如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM=EF
（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值．