Question

设数列{a_n}满足：．
（I）证明：对n∈N^*恒成立；
（II）令，判断b_n与b_n+1的大小，并说明理由．

Answer

（1）证法一：用数学归纳法进行证明．
证法二：由递推公式得，，由此可知．
（2）解法一：由
=可知bn+1＜bn成立．
解法二：由==
=，可知bn+1＜bn．
【解析】
（1）证法一：当n=1时，，不等式成立，
假设n=k时，成立（2分），
当n=k+1时，．（5分）
∴n=k+1时，时成立
综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立（6分）
证法二：由递推公式得，（2分）
上述各式相加并化简得=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
又n=1时，显然成立，故（6分）
（2）解法一：（8分）
=（10分）
又显然bn＞0（n∈N*），故bn+1＜bn成立（12分）
解法二：=（8分）
=（10分）
=
故bn+12＜bn2，因此bn+1＜bn（12分）