Question

已知二面角α-PQ-β为60°，点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a．
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）求点B到平面α的距离；
（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面α所成的角为45°，求CR的长．

Answer

（1）作BM⊥PQ于M，连接AM，根据∵∠ACP=∠BCP=30°求得CA=CB进而判断出△MBC≌△MAC，进而可知AM⊥PQ，根据线与面垂直的定义可知PQ⊥平面ABM，AB⊂平面ABM．
（2）作BN⊥AM于N，根据PQ⊥平面ABM可推知BN⊥PQ，进而可知BN⊥α，BN是点B到平面α的距离，进而根据BN=BMsin60°求得BN．
（3）连接NR，BR，根据BN⊥α可知BR与平面α所成的角为∠BRN=45°，进而求得RN和CM，判断出，根据∠BMA=60°，进而判断，△BMA为正三角形，N是BM中点，进而可知R是CB中点，答案可得．
证明：（1）作BM⊥PQ于M，连接AM，
∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=a，
∴△MBC≌△MAC，∴AM⊥PQ，PQ⊥平面ABM，AB⊂平面ABM，
∴AB⊥PQ．
【解析】
（2）作BN⊥AM于N，
∵PQ⊥平面ABM，∴BN⊥PQ，
∴BN⊥α，BN是点B到平面α的距离，由（1）知∠BMA=60°，
∴．
∴点B到平面α的距离为．
（3）连接NR，BR，∵BN⊥α，BR与平面α所成的角为∠BRN=45°，
，，
∴，∵∠BMA=60°，BM=AM，△BMA为正三角形，
N是BM中点，∴R是CB中点，∴．