Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求：点A到平面BD₁的距离；
（2）求点A₁到平面AB₁D₁的距离；
（3）求平面AB₁D₁与平面BC₁D的距离；
（4）求直线AB到CDA₁B₁的距离．

Answer

（1）根据点A在平面BD1内，即可求出点A到平面BD1的距离；
（2）根据点A1到平面AB1D1的距离是正方体的体对角线的，而正方体的体对角线为，即可求出点A1到平面AB1D1的距离；
（3）根据平面AB1D1∥平面BC1D，可知这两个平面将体对角线分成三等分，从而求出平面AB1D1与平面BC1D的距离；
（4）先求出A到CDA1B1的距离，而AB∥平面CDA1B1，则直线AB到CDA1B1的距离等于点A到CDA1B1的距离．
【解析】
（1）因为点A在平面BD1内
∴点A到平面BD1的距离为0
（2）正方体的体对角线为
而点A1到平面AB1D1的距离是正方体的体对角线的
∴点A1到平面AB1D1的距离为；
（3）平面AB1D1∥平面BC1D
这两个平面将体对角线分成三等分
∴平面AB1D1与平面BC1D的距离为；
（4）∵AO⊥A1D
∴A到CDA1B1的距离为AO=
而AB∥平面CDA1B1
∴直线AB到CDA1B1的距离