Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B．
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，由题意知，由此可知实数k的取值范围．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由题意得，由此入手可求出k的值．
【解析】
（Ⅰ）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得（k2-2）x2+2kx+2=0．①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是-2＜k＜．
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）．
则由FA⊥FB得：（x1-c）（x2-c）+y1y2=0．
即（x1-c）（x2-c）+（kx1+1）（kx2+1）=0．
整理得（k2+1）x1x2+（k-c）（x1+x2）+c2+1=0．③
把②式及代入③式化简得．
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．