Question

直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A，B两点．
（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；
（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y=0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y1y2=-x1x2．根据韦达定理表示出x1x2．进而根据直线方程表示出y1y2，代入y1y2=-x1x2．求得a．
（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把AB的中点代入直线y=x中求得y1+y2和x1+x2的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出x1+x2，联立方程求得a，看结果是否与a=-2矛盾即可．
【解析】
（1）联立方程ax+1=y与3x2-y2=1，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a2≠0，所以a≠±，∴．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=-x1x2．
且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1=-x1x2⇒x1x2（1+a2）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：，代入上式得．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点，在上，则，
又y1+y2=a（x1+x2）+2，
代入上式知这与a=-2矛盾．
故这样的实数a不存在．