Question

在多面体ABCDEF中，△ADE是边长为2的等边三角形，EF∥平面ABCD，AB⊥平面ADE，AB=，EF=．
（1）求证AB∥DC；
（2）求直线BE与平面ABCD所成的角；
（3）若DF⊥FC，求证DF⊥BC．

Answer

（1）由线面平行的性质得AB∥EF，同理 CD∥EF，故由AB∥CD．
（2）先证平面ADE⊥平面ABCD，取AD的中点O，，∠EBO为直线BE与平面ABCD所成的角，将此角放到直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角的大小．
（3）利用勾股定理证明DF⊥BF，再根据 DF⊥FC，从而证明DF⊥平面FBC，故DF⊥BC．
【解析】

（1）证明：∵EF∥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AB∥EF，同理 CD∥EF
AB∥CD．
 （2）∵AB⊥平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABCD，取AD的中点O，连接 EO、BO，
△ADE是等边三角形，EO⊥AD，
∴EO⊥平面ABCD，∠EBO为直线BE与平面ABCD所成的角，在△EBO中，
tan∠EBO==，故直线BE与平面ABCD所成的角等于30°．
（3）∵AB⊥平面ADE，EF∥AB，
∴EF⊥平面ADE，△ADE是边长为2的等边三角形，
BD2=AD2+AB2=4+8=12，DF2=DE2+EF2=4+2=6，
BF2=AE2+（AB-EF）2=4+2=6，∴DF⊥BF．
又 DF⊥FC，BF∩FC=F，∴DF⊥平面FBC，∴DF⊥BC．