Question

已知动点M到点F．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（-2，0）满足，求直线PN在y轴上的截距d的取值范围．．

Answer

（1）直接设出点M的坐标，列出M的关系式，代入坐标化简即可．即用直接法求轨迹方程．
（2）由（1）可知动点M的轨迹C为双曲线，联立方程，消元，若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，即消元后的方程应有两个负实根，故，求出k的范围．由知N为AB的中点，由维达定理表示出N的坐标，写出PN的方程，令x=0，用k表示出直线PN在y轴上的截距d，转化为求函数的值域．
【解析】
（1）设动点M的坐标为（x，y），由题设可知，
∴动点M的轨迹C方程为x2-y2=1
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题设直线AB的方程为：y=kx+1，
由消去y得：（1-k2）x2-2kx-2=0（x≤-1），
由题意可得：
解得∴
则，
∴
令上为减函数．
∴．