Question

已知函数f（x）=x³-+bx+c．
（1）若f（x）有极值，求b的取值范围；
（2）当f（x）在x=1处取得极值时，①若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；②证明：对[-1，2]内的任意两个值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤．

Answer

（1）若f（x）有极值，求导，令导数等于零，则方程有不等实数根，从而求得b的取值范围；（2）当f（x）在x=1处取得极值时，则f′（1）=0，可求得b的值，①若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立，转化为求函数f（x）在[-1，2]上的最大值小于c2即可求得c的取值范围；②对[-1，2]内的任意两个值x1，x2，都有，转化为求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值的差≤即可．
【解析】
（1）∵f（x）=，
∴f′（x）=3x2-x+b，
要使f（x）有极值，则f′（x）=3x2-x+b=0有两不等实根，
从而△=1-12b＞0，解得b＜．
（2）∵f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=3-1+b=0，∴b=-2．
①∴f（x）=x3-x2-2x+c，∵f′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）
∴当x∈（-，1）时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x∈（-∞，-）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=时，f（x）有极大值+c，
又f（2）=2+c＞+c，f（-1）=+c＜+c，
∴x∈[-1，2]时，f（x）max=f（2）=2+c，
∴c2＞2+c
∴c＜-1或c＞2．
②由上可知，当x=1时，f（x）有极小值-+c又f（2）=2+c＞-+c，f（-1）=+c
＞-+c，∴x∈[-1，2]时，f（x）min=-+c，
∴|f（x1）-f（x2）|≤|fmax（x）-fmin（x）|=|2+c-（-+c）|=，
故结论成立．