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已知函数y=f(x)对任意的实数都有f(x+y)=f(x)•f(y). (Ⅰ)记...

已知函数y=f(x)对任意的实数都有f(x+y)=f(x)•f(y).
(Ⅰ)记an=f(n)(n∈N*),Sn=manfen5.com 满分网,且{bn}为等比数列,求a1的值.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设cn=manfen5.com 满分网,问:是否存在最大的整数m,使得对于任意n∈N*,均有cnmanfen5.com 满分网?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)根据数列与函数的关系,确定出数列{an}的通项公式即函数的解析式,利用数列{bn}与数列{an}的关系,根据数列{bn}为等比数列,寻找其前3项满足的关系式,通过求解方程求出a1的值; (Ⅱ)根据(Ⅰ)中确定的数列{an}的通项公式,求出其前n项和表达式,进而确定出数列{bn}的通项公式,算出cn的表达式.利用cn的单调性确定出其最小值,进而确定出合题意的m. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x+y)=f(x)•f(y)对于任意的x∈R均成立, ∴f(n+1)=f(n)•f(1),即an+1=an•a1. ∴f(1)≠0,∴a1≠0,∴an≠0(n∈N*), ∴{an}是以a1为首项,a1为公比的等比数列,∴an=a1n. 当a1=1时,an=1,Sn=n,此时bn=2n+1,{bn}不是等比数列, ∴a1≠1.又{an}成等比数列,{bn}成等比数列,∴b22=b1b3. ∵b1=,b3=,∴,解得a1=. (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,an=, bn=+1,∴anbn=2Sn+an=1-=1.∴cn=. 由cn+1-cn=1->0,得n(n+1)>8. ∵n∈N*,∴n≥3. ∵c1=9,c2=6,c3=<16,且当n≥4时,均有cn>c3=, ∴存在这样的m=16,能使对所有的∵n∈N*,有cn>成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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