Question

如图，在三棱锥D-ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要证明BC⊥平面ACD．我们根据可以根据已知中侧面ADC⊥底面ABC．结合平面与平面垂直的性质定理进行证明，即只要说明AC⊥BC即可，由（1）的结论，取AC的中点为O，连接DO，OM．建立空间直角坐标系O-xyz，然后利用空间向量法，进行求解．
（Ⅱ）要求异面直线BD与CM所成角的余弦值，我们只要求与夹角余弦值的绝对值即可．
（Ⅲ）要求锐二面角A-CD-M的余弦值，我们只要求出平面ACD的法向量与平面MCD的法向量夹角余弦值的绝对值即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为AC⊥BC，平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面ACD．
（Ⅱ）取AC的中点为O，连接DO，OM．
建立空间直角坐标系O-xyz如图所示．
则A（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，0，1），
B（-1，2，0），M（0，1，0）．
，

所以异面直线BD与CM所成角的余弦值为
（Ⅲ）平面ACD的法向量为，
设平面MCD的法向量为，
，
由，得，取x=-1，得y=z=1，
所以

所以，二面角A-CD-M的余弦值为