Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁．

Answer

（Ⅰ）欲证CF⊥平面ABB1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CF垂直平面ABB1内两相交直线垂直，而CF⊥BB1，CF⊥AB，BB1∩AB=B，满足定理条件；
（Ⅱ）取AB1的中点G，连接EG，FG，欲证CF∥平面AEB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CF与平面AEB1内一直线平行即可，而CF∥EG，CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，满足定理条件．
证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，∴BB1⊥平面ABC．
又∵CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB1．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，
∴CF⊥AB．
又∵BB1∩AB=B，
∴CF⊥平面ABB1．
（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接EG，FG．

∵F、G分别是棱AB、AB1中点，
∴FG∥BB1，BB1．
又∵EC∥BB1，，
∴FG∥EC，FG=EC．
∴四边形FGEC是平行四边形，
∴CF∥EG．
又∵CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，
∴CF∥平面AEB1．