如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，...

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD= manfen5.com 满分网

．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离．
（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为 manfen5.com 满分网

，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．

（I）由已知中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=，底面ABCD是矩形，我们易求出棱锥VP-BCD的体积，再根据VP-BCD=VC-PBD，我们只要求出△PBD的面积，然后代入棱锥体积公式，即可求出点C到平面PBD的距离．（II）以A为原点，分别以AB，AD，AP为X，Y，Z轴的正方向建立空间坐标系，则我们易给出各个点的坐标，进而求出CQ的方向向量和平面PBD的法向量，然后根据CQ的方向向量和平面PBD的法向量的夹角的余弦值等于CQ与平面PBD所成的角的正弦值，构造方程，即可求出Q的坐标．【解析】（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC．（1分） ∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=（2分）设C到面PBD的距离为d，由VP-BCD=VC-PBD，有，即，（4分）得（5分）（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系因为Q在DP上，所以可设，（6分）又∵， ∴Q（0，2-2λ，2λ），∴．（8分）易求平面PBD的法向量为，（10分）所以设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有：=（12分）所以有，，∵0＜λ＜1，∴（13分）所以存在且（14分）

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁．

查看答案

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁B₁C．

查看答案

如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；
（Ⅲ）求平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值．
manfen5.com 满分网

查看答案

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点， manfen5.com 满分网

，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°．

查看答案

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等