满分5 > 高中数学试题 >

如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,...

manfen5.com 满分网如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点.
(Ⅰ)求证:BD⊥FG;
(Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;
(Ⅲ)当二面角B-PC-D的大小为manfen5.com 满分网时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
(Ⅰ)要证:BD⊥FG,先证BD⊥平面PAC即可. (Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,FG∥平面PBD内的一条直线即可. (Ⅲ)当二面角B-PC-D的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值. 只要作出二面角的平面角,解三角形即可求出结果. 这三个问题可以利用空间直角坐标系,解答(Ⅰ)求数量积即可. (Ⅱ)设才点的坐标,向量共线即可解答. (Ⅲ)利用向量数量积求解法向量,然后转化求出PC与底面ABCD所成角的正切值. 证明:(Ⅰ)∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,其对角线BD,AC交于点E, ∴PA⊥BD,AC⊥BD, ∴BD⊥平面PAC, ∵FG⊂平面PAC, ∴BD⊥FG(5分) 解(Ⅱ):当G为EC中点,即AG=AC时,FG∥平面PBD,(7分) 理由如下: 连接PE,由F为PC中点,G为EC中点,知FG∥PE, 而FGË平面PBD,PE⊂平面PBD, 故FG∥平面PBD.(9分) 解(Ⅲ):作BH^PC于H,连接DH, ∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形, ∴PB=PD, 又∵BC=DC,PC=PC, ∴△PCB≌△PCD, ∴DH⊥PC,且DH=BH, ∴ÐBHD就是二面角B-PC-D的平面角,(11分) 即ÐBHD=, ∵PA⊥面ABCD,∴ÐPCA就是PC与底面ABCD所成的角(12分) 连接EH,则EH⊥BD,ÐBHE=,EH⊥PC, ∴tanÐBHE=,而BE=EC, ∴,∴sinÐPCA=,∴tanÐPCA=, ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是(14分) 或用向量方法: 【解析】 以A为原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方形ABCD的边长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),E(),F(),G(m,m,0)(0<m<)(2分) (Ⅰ)=(-1,1,0),=(),×=-m++m-+0=0, ∴BD⊥FG(5分) (Ⅱ)要使FG∥平面PBD,只需FG∥EP,而=(),由=l可得, 解得l=1,m=,(7分) ∴G(,,0),∴, 故当AG=AC时,FG∥平面PBD(9分) (Ⅲ)设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z), 则,而,, ∴,取z=1,得=(a,0,1),同理可得平面PDC的一个法向量为=(0,a,1), 设,所成的角为q,则|cosq|=|cos|=,即=,∴,∴a=1(12分) ∵PA⊥面ABCD,∴ÐPCA就是PC与底面ABCD所成的角, ∴tanÐPCA=(14分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求点C到平面PBD的距离.
(Ⅱ)在线段PD上是否存在一点Q,使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为manfen5.com 满分网,若存在,指出点Q的位置,若不存在,说明理由.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,E是棱CC1上动点,F是AB中点,AC=BC=2,AA1=4.
(Ⅰ)求证:CF⊥平面ABB1
(Ⅱ)当E是棱CC1中点时,求证:CF∥平面AEB1

manfen5.com 满分网 查看答案
manfen5.com 满分网三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面BCC1B1
(Ⅱ)求证:MN⊥平面A1B1C.
查看答案
如图1所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分别交A1D1,AD1于点B1,P,作CC1∥AA1,分别交A1D1,AD1于点C1,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得DD1与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
(Ⅰ)求证:AB⊥平面BCC1B1
(Ⅱ)求四棱锥A-BCQP的体积;
(Ⅲ)求平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值.
manfen5.com 满分网
查看答案
在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点,manfen5.com 满分网,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°.

manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.