Question

如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer

（1）要证明线面平行，关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BDE中三条已知直线与AE都不平行，故我们要考虑在平面BDE中做一条与PA可能平行直线辅助线，然后再进行证明．
（2）要证明平面BDP⊥平面PBC，我们关键是在一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线，观察图形，在平面PBC中，BC可能与平面BDP垂直，故可以其为切入点进行证明．
（3）要求二面角的余弦，要先构造出二面角的平面角，然后利用解三角形的方法，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．
我们也可以构造空间直角坐标系，求出各点的坐标，进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法进行求解．
解法一：
证明：建立如图所示的坐标系，
（Ⅰ）A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2）
，，
设，
可得
因为PA⊄平面BDE，
所以PA∥平面BDE
（Ⅱ）因为
所以BC⊥BD
因为PD⊥平面ABCD，所以BC⊥PD
所以BC⊥平面PBD，
所以平面BDP⊥平面PBC．
（Ⅲ）因为AD⊥DC，AD⊥PD
所以是平面PDC的法向量，，设平面PBC的法向量为，
由得：，
设二面角B-PC-D为θ，则cosθ=
所以二面角B-PC-D余弦值为．

解法二：
（Ⅰ）连接AC交BD于G，连接EG，
∵AB∥CD
∴，由已知，
得，
∴PA∥EG，
∵EG⊂平面DEG，PA∉平面DEG
∴PA∥平面DEG．

（Ⅱ）由已知可得，，取CD的中点O，连接BO，ABOD为正方形，
，所以BD2+BC2=CD2由勾股定理的逆定理知BC⊥BD，
因为BC⊥PD，所以BC⊥平面BDP，所以平面BDP⊥平面PBC
（Ⅲ）BO⊥CD，BO⊥PD，所以BO⊥平面PDC，BO⊥PC
在平面PDC内作OM⊥PC交PC于点M，
所以PC⊥平面BOM
连接BM，BM⊥PC，∠BMO是二面角B-PC-D的平面角．
在Rt△BMO中，OB=1，，，
所以二面角B-PC-D余弦值为