如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，...

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB= manfen5.com 满分网

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（I）求证：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出向量，计算即可证明MN⊥平面ABN；（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的数量积求得二面角A-BN-C的余弦值．（I）证明：以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AZ为z轴的空间直角坐标系，如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0，0），B（，0，0）， C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1）， ∴（2分） ∴（4分） ∴ ∴MN⊥平面ABN．（7分）（II）【解析】设平面NBC的法向量且又易知 ∴ 令a=1，则（11分）显然，就是平面ABN的法向量． ∴ 由图形知，二面角A-BN-C是钝角二面角（12分） ∴二面角A-BN-C的余弦值是-．（14分）

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考点分析：

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如图：PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，PD=CD=2AD=2AB=2，EC=2PE．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDP⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PC-D的余弦值．

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如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）求证：BD⊥FG；
（Ⅱ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅲ）当二面角B-PC-D的大小为 manfen5.com 满分网

时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

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如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD= manfen5.com 满分网

．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离．
（Ⅱ）在线段PD上是否存在一点Q，使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为 manfen5.com 满分网

，若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由．

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如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁．

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三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁B₁C．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等