Question

直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，AC，BC与平面α分别成30°，45°的角，若S_△ABC=10，则△ABC在平面α内的射影构成的三角形的面积为    ．

Answer

过点C作CH⊥平面α，设CH=h，用h表示三角形ABC的边AB、AC、BC、ABC的斜边AB上的高为x，求出角三角形ABC与平面α成的角为β的正弦值，从而求出β的余弦值，β的余弦值等于射影面积比上直角三角形ABC的面积．
【解析】
过点C作CH⊥平面α，设CH=h，∵AC，BC与平面α分别成30°，45°的角，
∴BC=，AC=2h，AB=h，∵直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，
S△=BC•AC=10，∴h=，设直角三角形ABC的斜边AB上的高为x，
由面积法可求 x=，设直角三角形ABC与平面α成的角为β，
sinβ==，∴β=60，cos60===，
∴S′=5，即△ABC在平面α内的射影构成的三角形的面积为5；
故答案为5．