Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．
（1）B₁D₁与A₁D能否垂直？请证明你的判断；
（2）当∠A₁B₁C₁在上变化时，求异面直线AC₁与A₁B₁所成角的取值范围．

Answer

AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，（1）求出，计算说明不垂直；
（2）当∠A1B1C1在上变化时，求求出，然后求，即可求异面直线AC1与A1B1所成角的取值范围．
【解析】
∵菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1，
设AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，设B1（a，0，0），C1（0，b，0）（a2+b2=1），
则D1（-a，0，0），A1（0，-b，0），D（-a，0，2）
（1）∵，
∴
∴B1D1与A1D不能垂直．
（2）∵∠A1B1C1∈，∴，
∵A（0，-b，2）∴，
，
，
∴
∵a2+b2=1，∴设a=cosα，b=sinα，又，
∴
∴
=
=
∵2≤csc2α≤4，∴
∴直线AC1与A1B1所成角的取值范围是．