Question

已知曲线x²+2y²+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，按向量a=（2，1）平移即是把函数向右平移2个单位，向上平移1个单位后得到曲线C．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由=λ，可得由点M、N在椭圆x2+2y2=2上，代入方程整理可得即y2=．结合椭圆的性质可知-1≤y2≤1，代入可求λ的取值范围．
【解析】
（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C为x2+2y2=2，
即+y2=1．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则由于点M、N在椭圆x2+2y2=2上，则
即
消去x22得，2λ2+8λy2+8=2λ2+4λ+2，
即y2=．
∵-1≤y2≤1，
∴-1≤≤1．
又∵λ＞0，故解得λ≥．
故λ的取值范围为[，+∞）．
思考讨论本题：若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗？（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下．