Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB和BC的中点，试问在棱DD₁上能否找到一点M，使BM⊥平面B₁EF？若能，确定点M的位置；若不能，说明理由．

Answer

B作BG⊥B1E交AA1于G，过G作GM∥AD交DD1于M，连BM，欲证BM⊥平面B1EF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BM与平面B1EF内两相交直线垂直，EF⊥BM，BM⊥B1E，EF∩B1E=E，满足定理要求．
【解析】
作法：①B作BG⊥B1E交AA1于G；
②过G作GM∥AD交DD1于M；
③连BM，则BM即为所求作
证明：连BD正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F为AB和BC的中点
∴BD⊥AC，又DD1⊥面ABCD
∴AC⊥面BDM，而EF∥AC
∴EF⊥面BDM，则EF⊥BM
又∵GM∥AD∴GM⊥面ABB1A1而BG⊥B1E∴BM⊥B1E
又EF∩B1E=E∴BM⊥平面B1EF