Question

已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m，0）到直线AP的距离为1
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程．

Answer

（Ⅰ）设出直线AB的方程，表示出点M到直线AP的距离求得m-1的范围．
（Ⅱ）设双曲线方程，由M和A求得|AM|，又因为M是△APQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP=45°，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1，求得P点坐标，代入椭圆方程求得b，求得双曲线方程．
【解析】
（Ⅰ）由条件得直线AP的方程y=k（x-1），
即kx-y-k=0．
因为点M到直线AP的距离为1，
∵，
即．
∵，
∴，
解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--．
∴m的取值范围是．
（Ⅱ）可设双曲线方程为，
由，
得．
又因为M是△APQ的内心，M到AP的距离为1，所以∠MAP=45°，直线AM是∠PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1因此，kAP=1，kAQ=-1（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为
直线AP的方程y=x-1，
∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，
所以所求双曲线方程为，
即．