Question

如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P₃为线段OP₁的中点，对于每一个正整数n，P_n+3为线段P_nP_n+1的中点，令P_n的坐标为（x_n，y_n），
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及a_n；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）若记b_n=y_4n+4-y_4n，n∈N^*，证明{b_n}是等比数列．

Answer

（Ⅰ）由题意可知，由此可推导出an=a1=2，n∈N*．
（Ⅱ）将等式两边除以2，得，由此可知
（Ⅲ）由=和，知{bn}是公比为的等比数列．
【解析】
（Ⅰ）因为，
所以a1=a2=a3=2，又由题意可知
∴
=
=，
∴{an}为常数列
∴an=a1=2，n∈N*．
（Ⅱ）将等式两边除以2，得，
又∵
∴
（Ⅲ）∵
=
=，
又∵，
∴{bn}是公比为的等比数列．