Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=1，BC=，AA₁=2；点D在棱BB₁上，BD=BB₁；
B₁E⊥A₁D，垂足为E，求：
（Ⅰ）异面直线A₁D与B₁C₁的距离；
（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积．

Answer

（Ⅰ）先根据线面垂直的判定定理可知B1C1⊥平面A1B1D，再根据线面垂直的性质可知B1C1⊥B1E，B1E⊥A1D，则B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线，利用等面积法求出B1E的长；
（Ⅱ）根据BC∥B1C1，可得BC⊥平面ABDE，从而BC为四棱锥C-ABDE的高．从而所求四棱锥的体积V为V=VC-ABDE=×S，其中S为四边形ABDE的面积，过E作EF⊥BD，垂足为F．利用等面积法求出EF，而S=S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D即可求出所求．
【解析】
（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC=90°，
因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E．又B1E⊥A1D，
故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线
由知，
在Rt△A1B1D中，A2D=．
又因．
故B1E=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，
即BC为四棱锥C-ABDE的高．从而所求四棱锥的体积V为
V=VC-ABDE=×S，
其中S为四边形ABDE的面积．如图1，过E作EF⊥BD，垂足为F．
在Rt△B1ED中，ED=，
又因S△B1ED=，
故EF=．
因△A1AE的边A1A上的高，故
S△A1AE=．
又因为S△A1BD=，从而
S=S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D=2-．
所以．