Question

如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且于抛物线交于A、B两点．
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂线平分m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线的方程可求得抛物线标准方程中的p，则焦点坐标和准线方程可得．
（Ⅱ）设出A，B的坐标，和M的坐标，把A，B代入抛物线方程两式相减求得直线AB的斜率，求得yotana=4．同时根据AB，MP共线根据斜率相等求得得yotana=4，进而可推断出AB中垂线方程的斜率，表示出其直线方程，令y=0表示出P的横坐标，进而可表示出|FP|，然后利用余弦的二倍角公式化简整理，把tana=，yo2=4xo-8代入整理求得结果为8，为定值，进而原式得证．
【解析】
（Ⅰ）抛物线方程中p=4，
∴焦点坐标为（2，0），准线方程为x=-2
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点E（xo，yo），焦点F（2，0）．
则有x1+x2=2xo，y1+y2=2yo，又A，B在曲线上有y12=8x1，y22=8x2，
两式相减得AB斜率k====tana，得yotana=4．
又AB，MP共线，易得AB中垂线方程y=-（x-xo）+yo，令y=0，
得P点横坐标xP=xo+yotana=xo+4．
于是得|FP|=xP-xF=xo+2．
由于1-cos2a=1-（cos2a-sin2a）=1-=1-（1-），
再将tana=，yo2=4xo-8代入整理得1-cos2a=，
从而有|PF|-|PF|cos2a=|PF|（1-cos2a）=（xo+2）=8．
原式得证．