Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：3T_n+1＞log₂（a_n+3），n∈N^*．

Answer

（1）先根据题设求得a1，进而根据an+1=Sn+1-Sn整理得（an+1+an）（an+1-an-3）=0求得an+1-an=3，判断出{an}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中的an代入可求得bn，进而求得前n项的和Tn，代入到3Tn+1-log2（an+3）中，令，进而判断出f（n+1）＞f（n），从而推断出3Tn+1-log2（an+3）=log2f（n）＞0，原式得证．
【解析】
（1）由，解得a1=1或a1=2，由假设a1=S1＞1，因此a1=2，
又由，
得（an+1+an）（an+1-an-3）=0，
即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an＞0，故an+1=-an不成立，舍去
因此an+1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{an}的通项为an=3n-1
证明：由可解得；
从而
因此
令，则、
因（3n+3）3-（3n+5）（3n+2）2=9n+7＞0，故f（n+1）＞f（n）
特别地，从而3Tn+1-log2（an+3）=log2f（n）＞0、
即3Tn+1＞log2（an+3）