Question

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥BD，且AB=BC=CA=BD=2AE=2
（Ⅰ）求证：平面ECD⊥平面BCD
（Ⅱ）求二面角D-EC-B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥A-ECD的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证平面ECD⊥平面BCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面ECD内一直线与面CBD垂直，分别取CD、CB的中点F、G，连接EF、FG、AG，易证EF⊥面CBD，又EF⊂平面ECD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接BF，过F作FM⊥EC，垂足为M，连接MB，根据二面角平面角的定义可知∠BMF为二面角D-EC-B的平面角，在△ECF中，求出MF，在三角形BMF中求出此角即可；
（Ⅲ）先用等体积法将三棱锥A-ECD的体积转化成三棱锥C-EAD的体积，然后利用三棱锥的体积公式求出所求．
【解析】
（Ⅰ）证明：分别取CD、CB的中点F、G，连接EF、FG、AG．
由题知四边形AEFG为矩形，易证AG⊥面CBD，AG∥EF，
∴EF⊥面CBD，
又EF⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面BCD
【解析】
（Ⅱ）连接BF，则BF⊥CD，由（Ⅰ）知，BF⊥面ECD，过F作FM⊥EC，垂足为M，连接MB，
则∠BMF为二面角D-EC-B的平面角．
由题意知，EC=ED=，
∴在△ECF中，，又BF=，
∴，
∴二面角D-EC-B的大小为
（Ⅲ）．