Question

已知椭圆C：的一条准线方程为l：x=-，且左焦点F到的l距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于两点A、B、交l于点M，若，，证明λ₁+λ₂为定值．

Answer

（Ⅰ）利用准线方程求得a和c的关系式，左焦点F到的l距离求得a和c的另一关系式，进而与a2=b2+c2联立方程求得a，b，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）先看当斜率为0时，可求得A，B和M的坐标，则λ1+λ2可求得；再看当斜率不为0时，可设直线AB方程与椭圆的方程联立，求得y1+y2和y1y2的表达式，分别求得λ1和λ2的表达式，则λ1+λ2的值可求．
【解析】
（Ⅰ）依题意有，解方程组得
∴椭圆C的方程为+y2=1．
（Ⅱ）依题意可知直线AB的斜率存在，
当斜率为0时，直线y=0和椭圆交于A（-，0），B（，0），和直线l交于M（-，0）点，
则易知λ1+λ2=0．
当斜率不为0时，可设直线AB方程为x=my-2（m≠0），
A（x1，y1），B（x2，y2），M（-，-），由得（m2+5）y2-4my-1=0，
由根与系数的关系得y1+y2=，y1y2=-，
又∵∴y1+=-λ1y1，λ1=--1，同理λ2=--1
∴λ1+λ2=-2-•=-2-（-4m）=0
∴λ1+λ2为定值
综上所述λ1+λ2为定值