Question

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱BB₁与底面成60．角，AQ⊥底面A₁B₁C₁于Q，AP⊥侧面BCC₁B₁于P，且A₁Q⊥B₁C₁，AB=AC，AQ=3，AP=2则顶点A到棱B₁C₁的距离是    ．

Answer

取B1C1的中点D，连接A1D，PD，先证A、P、D、Q四点共圆，根据余弦定理求出PQ，再根据正弦定理求出直径AD，最后证明AD为顶点A到棱B1C1的距离，即可得到结论．
【解析】
取B1C1的中点D，连接A1D，PD
∵侧棱BB1与底面成60°，A1A∥BB1
∴∠AA1D=60°
而AQ⊥底面A1B1C1于Q，AP⊥侧面BCC1B1于P
∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60°
∴A、P、D、Q四点共圆
则AD为圆的直径
根据余弦定理可知PQ=
再根据正弦定理可知2R==
∵B1C1⊥面AQD，AD⊂面AQD
∴B1C1⊥AD
则AD为顶点A到棱B1C1的距离
∴顶点A到棱B1C1的距离为
故答案为：