Question

如图，已知平面α∩平面β=MN，A∈α，B∈β，C∈MN且∠ACM=60°，∠BCN=45°，二面角A-MN-B=60°，AC=2．
（Ⅰ）求点A到平面β的距离；
（Ⅱ）设二面角A-BC-M的大小为θ，求tanθ的值．

Answer

（I）由题意及图形作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，连接OD，知∠ADO=60°，然后在直角三角形中求解即可；
（II）如图，在β平面内，过点O作直线BC的垂线，垂足为F，与直线MN交于E点，∠AOF为二面角A-BC-M的平面角，然后再三角形中求解即可．
【解析】
（Ⅰ）如图，
作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，连接OD，知∠ADO=60°，
在Rt△ADC中，易得AD=CD=1，在Rt△ADO中，OD=，AO=．
（Ⅱ）如图，在β平面内，过点O作直线BC的垂线，垂足为F，与直线MN交于E点，
易证∠AOF为二面角A-BC-M的平面角，
由已知得∠BCN=∠ECF=∠CEF=45°，
可求得OE=，DE=DO=，EC=，EF=×，OF=OE+EF=，
．