Question

过x轴上的动点T（t，0），引抛物线y=x²+1两条切线TP，TQ，P，Q为切点．
（Ⅰ）求证：直线PQ过定点N，并求出定点N坐标；
（Ⅱ）若t≠0，设弦PQ的中点为M，试求S_△OTM|OT|的最小值（O为坐标原点）．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线方程设出P，Q的坐标，把P，Q分别代入抛物线方程进行求导，可求得直线TP，TQ的斜率，进而利用两点表示出两直线的斜率，建立等式整理后可推断出x1，x2为方程x2-2tx-1=0的两根，利用韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，进而利用点斜式表示出直线PQ的方程，整理后把x1+x2和x1x2的表达式代入，求得y=2tx+2，进而可推断出直线PQ恒过定点（0，2）
（Ⅱ）设出点M的坐标，进而利用三角形面积公式表示出△OTM的面积，根据直线PQ恒过定点（0，2），设直线PQ方程，代入抛物线方程，整理后，利用韦达定理求得（x1+x2）=Kx1x2=-1．利用二次函数的性质可k的值确定y的最小值，进而确定S△OTM|OT|的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设P（x1，x12+1），Q（x2，x22+1）
把P代入抛物线方程进行求导得y'=2x1，即PT的斜率为2x1，
∴=2x1，整理得x12-2tx1-1=0；同理可得x22-2tx2-1=0
∴x1，x2为方程x2-2tx-1=0的两根
∴x1+x2=2t，x1x2=-1
直线PQ的方程：y-（x12+1）=（x-x1）
整理得：y=（x1+x2）x-x1x2+1；即y=2tx+2
∴直线PQ恒过定点（0，2）

（Ⅱ）设点M坐标为（x，y），则s△OTM：|OT|=，
由（Ⅰ）直线PQ过定点N（0，2），
设直线PQ方程为y=kx+2代入y=x2+1整理得x2-kx-1=0，
设p（x1，y1）Q（x1，y2），则（x1+x2）=Kx1x2=-1，y=k+2=，
当k=0时，y最小值为：2，
所以s△OTM：|OT|最小值为：1．