Question

已知，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），
（1）若f（x）在处取得极值，试求c的值和f（x）的单调增区间；
（2）如图所示，若函数y=f（x）的图象在[a，b]连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得，利用这条性质证明：函数y=g（x）图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4．

Answer

（1）先求f′（x）由，求得c，再用f′（x）＞0求得增区间．
（2）先化简g（x）=ex-e2-x+f（x）═，则g′（x）=由猜想知对于函数y=g（x）图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点C（c，g′（c）），有g′（x）≥2e-4．
【解析】
（1）f′（x）=2x2-4x+c，（1分）
依题意，有，即．（2分）
∴，f′（x）=2x2-4x-2．
令f′（x）＞0，得或，（5分）
从而f（x）的单调增区间为：及；（6分）
（2）；g（x）=ex-e2-x+f（x）═，（7分）
g′（x）=ex+e2-x+2x2-4x-2（9分）=（12分）
由（2）知，对于函数y=g（x）图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点C（c，g′（c）），使得g′（c）=KAB，又g′（x）≥2e-4，故有KAB=g′（c）≥2e-4，证毕．（14分）