Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD，
（1）证明：C₁C⊥BD；
（2）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

Answer

（1）连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O．证明BD垂直平面平面AC1内的两条相交直线AC，C1O，即可证明C1C⊥BD；
（2）当时，能使A1C⊥平面C1BD，A1C与C1O相交于G，说明点G是正三角形C1BD的中心，证明CG⊥平面C1BD，即可证明A1C⊥平面C1BD．
（1）证明：如图，连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，（3分）
但AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴BD⊥平面AC1，
又C1C⊂平面AC1，
∴C1C⊥BD．（6分）
（2）当时，能使A1C⊥平面C1BD．
∵，
∴BC=CD=C1C，
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，
由此可推得BD=C1B=C1D．
∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥．（9分）
设A1C与C1O相交于G．
∵A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，
∴C1G：GO=2：1．
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C1BD的中心，
∴CG⊥平面C1BD，
即A1C⊥平面C1BD．（12分）