Question

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E
三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．

Answer

以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，设出A、B、C的坐标，利用点E分有向线段所成的比为，|AB|=2|CD|，求出E的坐标，结合双曲线方程，求出关于e的表达式，即可得到e的值．
【解析】
如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．（2分）
依题意，记A（-c，0），C（，h），B（c，0），
其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为，．（5分）
设双曲线的方程为，则离心率．
由点C、E在双曲线上，
得（10分）
解得，化简可得，
所以，离心率（14分）