Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°．
（1）证明：C₁C⊥BD；
（2）假定CD=2，CC₁=，记面C₁BD为α，面CBD为β，求二面角α-BD-β的平面角的余弦值；
（3）当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明．

Answer

（1）要证线线垂直，只要证线面垂直，由线面垂直的判定定理，只要找到一条直线垂直于两条相交直线即可，由题意易得，∴△C1BD为等腰三角形，故AC和BD交于O，则C1O⊥BD，又AC⊥BD，命题可证．
（2）由（1）知∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角，由余弦定理解△C1OC即可．
（3）可先猜测的值，然后证明A1C⊥平面C1BD．只要证A1C⊥平面C1BD内的两条相交直线即可，易得BD⊥平面AC1，BD⊥A1C．同理再证BC1⊥A1C即可．
【解析】
（1）证明：如图：
连接AC、设AC和BD交于O，连接C1O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，
∴△C1BC≌△C1DC
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，
但AC⊥BD，AC∩C1O=O，
∴BD⊥平面AC1C，
又C1C⊂平面AC1C
∴C1C⊥BD．
（2）【解析】
由（1）知AC⊥BD，C1O⊥BD，
∴∠C1OC是二面角α-BD-β的平面角．
在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60°，
∴C1B2=22+（）2-2×2××cos60°=
∵∠OCB=30°，
∴OB=BC=1．
∴C1O2=C1B2-OB2=，
∴C1O=即C1O=C1C．
作C1H⊥OC，垂足为H．
∴点H是OC的中点，且OH=，
所以cos∠C1OC==．
（3）如图：
当=1时，能使A1C⊥平面C1BD
由（1）知，BD⊥平面AC1C，
∵A1C⊂平面AC1，∴BD⊥A1C．
当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，
又BD⊥BC1=B，
∴A1C⊥平面C1BD．