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用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一...

用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
先设容器底面短边长为xm,利用长方体的体积公式求得其容积表达式,再利用导数研究它的单调性,进而得出此函数的最大值即可. 【解析】 设容器底面短边长为xm,则另一边长为(x+0.5)m, 高为 由3.2-2x>0和x>0,得0<x<1.6, 设容器的容积为ym3,则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6) 整理,得y=-2x3+2.2x2+1.6x,(4分) ∴y'=-6x2+4.4x+1.6(6分) 令y'=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即15x2-11x-4=0, 解得x1=1,(不合题意,舍去).(8分) 从而,在定义域(0,1,6)内只有在x=1处使y'=0. 由题意,若x过小(接近0)或过大(接受1.6)时,y值很小(接近0), 因此,当x=1时y取得最大值,y最大值=-2+2.2+1.6=1.8,这时,高为3.2-2×1=1.2. 答:容器的高为1.2m时容积最大,最大容积为1.8m3.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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