Question

如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率c的取值范围．

Answer

首先以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系，记，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得x和y的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．
【解析】
如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，
依题意，记，
其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高，
由定比分点坐标公式得，
．
设双曲线的方程为，则离心率，
由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①
．②
由①式得，③
将③式代入②式，整理得，
故
由题设得，，
解得，
所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．