Question

设A，B，C三点对应的复数分别为z₁，z₂，z₃满足z₁+z₂+z₃=0，且|z₁|=|z₂|=|z₃|=1
（1）证明：△ABC是内接于单位圆的正三角形；
（2）求S_△ABC；

Answer

（1）要证明三角形是正三角形，从三角形的边长入手，根据三角形的模长都是1，得到三个复数对应的点在单位圆上，根据三个复数的和是0，得到其中一个复数可以用其他两个来表示，利用复数的运算律，得到任意两个复数的差的模长是相等的．
（2）根据三角形是一个正三角形，且边长已知，利用正弦定理表示出三角形的面积，计算得到结果．
【解析】
（1）∵|z1|=|z2|=|z3|=1
∴A，B，C三点都在单位圆上
∵A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3满足z1+z2+z3=0
∴z1=-（z2+z3）
∴1==（z2+z3）（）=+=-1，
∴|z2-z3|2=（z2-z3）（）=3，
∴|z2-z3|=，
同理可得|z1-z2|=|z1-z3|=，
∴△ABC是内接与单位圆的正三角形，
（2）S△ABC=|AB|•|AC|sinA
=