Question

设z₁，z₂是两个虚数，且z₁+z₂=-3，|z₁|+|z₂|=4．若θ₁=argz₁，θ₂=argz₂，求cos（θ₁-θ₂）的最大值．

Answer

根据题意，设|z1|=r，则|z2|=4-r（0＜r＜4），根据arg的意义，可得z1=r（cosθ1+isinθ1），z2=（4-r）（cosθ2+isinθ2），将其代入z1+z2=-3，可得，两式平方相加，整理变形可得cos（θ1-θ2）与r的关系式，分析可得答案．
【解析】
设|z1|=r，则|z2|=4-r（0＜r＜4）．
将z1=r（cosθ1+isinθ1），z2=（4-r）（cosθ2+isinθ2），代入z1+z2=-3，得

两式平方相加，得r2+（4-r）2+2r（4-r）（cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2）=9，
于是cos（θ1-θ2）==1+，
当r=2时，cos（θ1-θ2）取最大值．