Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意自然数n均有，求c₁+c₃+c₅+…+c_2n-1的值．

Answer

（Ⅰ）由题意知d2-（d-2）2=2d，解得d=2．所以an=2（n-1）．再由，知．由此能够导出bn=3n-1．
（Ⅱ）由题设知，c1=2．所以，，由此能够推导出c1+c3+c5++c2n-1=．
【解析】
（Ⅰ）∵a3-a1=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d2-（d-2）2=2d，解得d=2．
∴a1=f（2-1）=0．∴an=2（n-1）．
∵，∴．
∵q≠0，q≠1，∴q=3．
又b1=f（q-1）=1，∴bn=3n-1．
（Ⅱ）由题设知，∴c1=a2b1=2．
当n≥2时，，，
两式相减，得．
∴cn=2bn=2×3n-1（c1=b1a2=2适合）．
∴c1+c3+c5++c2n-1=2（1+32+34++32n-2）==．
即c1+c3+c5++c2n-1=．