Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c，其中a∈N^*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x²+1），且存在x使得f（x）＜2（x²+1）成立，求c的值．

Answer

（1）先由题找到x∈[-1，1]，f（x）max=2，f（x）min=-4再利用a∈N*，b∈N和b＞2a，判断出函数在x∈[-1，1]上递增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求出a，b，c．在利用配方法求出f（x）的最小值；
（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立⇒△=（b-4）2-4ac≤0②，和f（x）≤2（x2+1）的结合求出a=1，c=1．（注意对二次项系数的讨论）．
【解析】
（1）据题意x∈[-1，1]时，f（x）max=2，f（x）min=-4，（1分）
，
∵b＞2a＞0，∴，
∴f（x）在[-1，1]上递增，
∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），（3分）
∴，∴b=3，a+c=-1，（5分）
∵b＞2a，∴，又a∈N*，∴a=1，∴c=-2，（7分）
∴，
∴．（8分）
（2）由已知得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）
∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b-4）x+c≥0恒成立，
∴△=（b-4）2-4ac≤0②，（11分）
由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）2≤0，∴a=c，（13分）
由f（x）≤2（x2+1）得：（2-a）x2-bx+2-c≥0恒成立，
若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x2+1），
不存在x使f（x）＜2（x2+1），与题意矛盾，（15分）
∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N*，
∴a=1，c=1．（16分）