Question

设函数，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞]上是单调函数．

Answer

（1）不等式f（x）≤1，转化为一元二次不等式组，根据a的范围求解不等式即可．
（2）当a≥1时，利用函数单调性的定义，即：在区间[0，+∞）上任取x1，x2，使得x1＜x2，证明f（x1）-f（x2）＞0，从而证明函数f（x）在区间[0，+∞]上是单调减函数．
（1）【解析】
不等式f（x）≤1即，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0．
所以，原不等式等价于
即（3分）
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．（6分）
（2）证明：在区间[0，+∞）上任取x1，x2
使得x1＜x2
=
=
∵，
∴，
又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）．
所以，当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递减函数．（12分）