Question

（1）已知数列{c_n}，其中c_n=2ⁿ+3ⁿ，且数列{c_n+1-pc_n}为等比数列，求常数p；
（2）设{a_n}、{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n=a_n+b_n，证明数列{c_n}不是等比数列．

Answer

（1）利用等比中项的性质可推断出（cn+1-pcn）2=（cn+2-pcn+1）（cn-pcn-1），整理后求得p的值．
（2）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．利用等比数列的通项公式分别表示出an和bn，表示出c22的表达式，整理由于p≠q，推断出p2+q2＞2pq，进而推断出c22≠c1•c3，进而可知{cn}不是等比数列．
【解析】
（1）因为{cn+1-pcn}是等比数列，故有
（cn+1-pcn）2=（cn+2-pcn+1）（cn-pcn-1），
将cn=2n+3n代入上式，得
[2n+1+3n+1-p（2n+3n）]2
=[2n+2+3n+2-p（2n+1+3n+1）]•[2n+3n-p（2n-1+3n-1）]，
即[（2-p）2n+（3-p）3n]2
=[（2-p）2n+1+（3-p）3n+1][（2-p）2n-1+（3-p）3n-1]，
整理得（2-p）（3-p）•2n•3n=0，
解得p=2或p=3．
（2）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn．
为证{cn}不是等比数列只需证c22≠c1•c3．
事实上，c22=（a1p+b1q）2=a12p2+b12q2+2a1b1pq，
c1•c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=a12p2+b12q2+a1b1（p2+q2）．
由于p≠q，p2+q2＞2pq，又a1、b1不为零，
因此c22≠c1•c3，故{cn}不是等比数列．