Question

（1）设函数，且数列{c_n}满足c₁=1，c_n=g（c_n-1）（n∈N，n＞1）；求数列{c_n}的通项公式．
（2）设等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，且=，，S₂=6；求常数A的值及{a_n}的通项公式．
（3）若，其中a_n、c_n即为（1）、（2）中的数列{a_n}、{c_n}的第n项，试求d₁+d₂+…+d_n．

Answer

（1）先求出数列{cn}的递推公式，再对递推公式进性构造新数列，利用新数列的通项公式，求数列{cn}的通项公式．
（2）先利用等差数列的性质求出：，再对变形求出常数A的值；再把所求的A的值代入和S2=6；相结合求出数列{an}的前n项和分别为Sn和就可求出{an}的通项公式．
（3）把（1）、（2）中求出的数列{an}、{cn}的通项公式代入；再分n为奇数和偶数两种情况分别求和即可．
【解析】
（1）由题意：，
变形得：，（1分）
∴数列{cn+1}是以为公比，c1+1=2为首项的等比数列．（3分）
∴，
即．（5分）
（2）∵由等差数列{an}、{bn}知：b4+b6=b2+b8=2b5，a3+a7=2a5；
∴由得：，（6分）
∴，
∵，
∴，解得A=1；
（8分）
∴，Sn和Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项和；
∴可设Sn=kn（n+1），Tn=kn（2n+7）；
∵S2=6，
∴k=1，即Sn=n2+n．（10分）
当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=2n．
综上得：an=2n．（12分）
（3）当n=2k+1（k∈N*）时，d1+d2+…+dn=（a1+a3++a2k+1）+（c2+c4++c2k）
=（14分）
当n=2k（k∈N*）时，d1+d2++dn=（a1+a3++a2k-1）+（c2+c4++c2k）
=．（16分）