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已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2. (1)试判断F(x)=(x2+1...

已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2.
(1)试判断F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在[1,+∞)上的单调性;
(2)当0<a<b时,求证函数f(x)(a≤x≤b)的值域的长度大于manfen5.com 满分网(闭区间[m,n]的长度定义为n-m).
(1)先得到F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)=(x2+1)lnx-(2x-2),由于不是基本函数,所以用导数法证明其单调性. (2)本题即证明不等式即为成立,由(1)知当x>1时,F(x)>F(1),又F(1)=0,可知F(x)>0即(x2+1)lnx-(2x-2)>0,变形可得,令构造不等式即可. 【解析】 (1)∵F(x)=(x2+1)f(x)-g(x)=(x2+1)lnx-(2x-2),(1分) ∴,(3分) ∴x>1时F'(x)>0,x=1时F'(x)=0; ∴函数F(x)在[1,+∞)上为增函数.(5分) (2)由(1)知当x>1时,F(x)>F(1),又F(1)=0, ∴F(x)>0;(7分) 即(x2+1)lnx-(2x-2)>0, ∴(﹡)(9分) 令, ∵0<a<b, ∴,(11分) ∴由(﹡)式得, 即为;(13分) ∵函数f(x)=lnx(a≤x≤b)的值域为[lna,lnb], ∴函数f(x)(a≤x≤b)的值域的长度为lnb-lna,(15分) ∴函数f(x)(a≤x≤b)的值域的长度大于.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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