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如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA...

如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4,AD=2,AB=2manfen5.com 满分网,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的大小.

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(Ⅰ)要证BD⊥平面PAC,只需证明BD垂直平面PAC内的两条相交直线PA,AC即可. (Ⅱ)过E作EF⊥PC,垂足为F,连接DF,说明∠EFD为二面角A-PC-D的平面角,推出Rt△EFC∽Rt△PAC,通过解Rt△EFD,求二面角A-PC-D的大小. 证明:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD.∴BD⊥PA. 又,.∴∠ABD=30°,∠BAC=60°,∴∠AEB=90°,即BD⊥AC. 又PA∩AC=A.∴BD⊥平面PAC (Ⅱ)过E作EF⊥PC,垂足为F,连接DF. ∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角. 又∠DAC=90°-∠BAC=30°, ∴DE=ADsinDAC=1,, 又,∴,PC=8. 由Rt△EFC∽Rt△PAC得. 在Rt△EFD中,,∴. ∴二面角A-PC-D的大小为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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