Question

正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（Ⅰ）根据求得a1，进而根据4Sn=（an+1）2和4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2）两式相减整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，进而可得an-an-1=2判断出数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．
（Ⅱ）把（1）中求得的an代入中，即可求得bn，进而可用裂项法进行求和，得Tn=根据使原式得证．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴a1=1．
∵an＞0，，
∴4Sn=（an+1）2．①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2）．②
①-②，得4an=an2+2an-an-12-2an-1，
即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
而an＞0，
∴an-an-1=2（n≥2）．
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an=2n-1．
（Ⅱ）．
Tn=b1+b2++bn==．