Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[-1，2]，恒有f（x）≤2a²-1，求a的取值范围．

Answer

（I）对函数求导，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（II）由题意可得f（x）的最大值≤2a2-1恒成立x∈[-1，2]，利用导数求函数f（x）在[-1，2]上的最大值．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=x2-4ax+3a2=（x-a）（x-3a），
因为a＞1，所以3a＞a，
∴f（x）的极小值为f（3a）=-1

（Ⅱ）若1＜a≤2时，当x∈[-1，a]时f/（x）＞0，f（x）在[-1，a]上递增，
当x∈[a，2]时f/（x）＜0，f（x）在[a，2]上递减，
所以f（x）的最大值为f（a）=-1，
令-1⇒a∈R，又1＜a≤2，所以1＜a≤2；
若a＞2时，当x∈[-1，2]时f/（x）＞0，f（x）在[-1，2]上递增，
所以f（x）的最大值为f（2）=6a2-8a+，
令-6a+2≤0⇒1-，
又a＞2，所以无解．
由上可知1＜a≤2．