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已知圆P过点,且与直线相切. (Ⅰ)求圆心P的轨迹M的方程; (Ⅱ)若直角三角形...

已知圆P过点manfen5.com 满分网,且与直线manfen5.com 满分网相切.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹M的方程;
(Ⅱ)若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上,且点B的横坐标为1,过点A、C分别作轨迹M的切线,两切线相交于点D,直线AC与y轴交于点E,当直线BC的斜率在[3,4]上变化时,直线DE斜率是否存在最大值,若存在,求其最大值和直线BC的方程;若不存在,请说明理由?

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(Ⅰ)依题意可知圆心P到点F的距离与到定直线的距离相等,利用抛物线的定义可知P的轨迹为抛物线,设出抛物线的方程,根据题意求得p,则P的轨迹方程可得. (Ⅱ)设出A,C的坐标,表示出直线AC的斜率,则其直线方程可表示出,与抛物线方程联立消去y,利用判别式求得k的范围,利用k表示出A,C的坐标,进而用表示出直线AC的斜率,从而可表示出直线AC的直线方程,令x=0求得y,得到E的坐标,进而求得AD的方程,同理可求得CD的直线方程表达式,联立后求得D点坐标,则可表示出直线ED的斜率,求得其最大时,k的值,则直线BC的方程可得. 【解析】 (Ⅰ)依题意圆心P到点F的距离与到定直线的距离相等, 根据抛物线的定义可知P的轨迹为抛物线, 设方程为x2=2py,,所以x2=y (Ⅱ)B(1,1),设A(x1,x12),C(x2,x22), 设BC的斜率为k,则,△=k2-4k+4≥0, 又1+xc=k,⇒xc=k-1,C(k-1,(k-1)2),A,, 直线AC的方程为, 令,所以 AD:y-x12=2x1(x-x1)⇒y=2x1x-x12 同理CD:y=2x2x-x22,联立两方程得D 令,则u在[3,4]上递减,所以,当k=3时,kED最大为8 所以,BC的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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