Question

已知数列{a_n}满足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是单调递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer

（Ⅰ）可以先根据数列{an}的递推关系式求的数列的通项，再有数列{bn}满足的关系，将an 与bn作差化简即可获得解答；
（Ⅱ）先结合（Ⅰ）的结论求的通项公式bn-an，又数列{an}的通项知道，故可求得数列{bn}的通项，通过通项研究即可解答；（Ⅲ）结合数列的变化将问题转化为通项的不等关系，解方程组即可获得解答．
【解析】
（Ⅰ）2an=an+1+an-1（n≥2，n∈N*）∴{an}是等差数列．
又a1=，a2=，
∴an=+（n-1）-=
bn=bn-1+（n≥2，n∈N*），
∴bn+1-an+1=bn-=-=（bn-）=（bn-an）．
又∵b1-a1=b1-≠0
∴{bn-an}是以b1-为首项，以为公比的等比数列．
（Ⅱ）bn-an=（b1-）•an=，bn=（b1-）．
当n≥2时bn-bn-1=-（b1-）
又b1＜0，∴bn-bn-1＞0
∴{bn}是单调递增数列．
（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，Sn取最小值．
∴
即，
∴b1∈（-47，-11）．