Question

已知如图（1），正三角形ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图（2）．
（Ⅰ）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小；
（Ⅲ）若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值．

Answer

（I）由题意，有线段长成比例利用线面平行的判定定理即可得证；
（II）由题意利用二面角平面角的概念，在三角形中利用面积相等及解三角形求出二面角的大小；
（III）利用方程的思想，利用异面直线的所成角的大小，进而解出变量的大小．
【解析】
（Ⅰ）AB∥平面DEF．在△ABC中，
∵E、F分别是AC、BC上的点，且满足，
∴AB∥EF．
∵AB⊄平面DEF，EF⊈平面DEF，∴AB∥平面DEF

（Ⅱ）过D点作DG⊥AC于G，连接BG，
∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角．
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD．
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC．
∴AC⊥平面BGD．∴BG⊥AC．
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角．
在ADC中，AD=a，DC=，AC=2a，
∴．
在Rt△BDG中，．
∴．
即二面角B-AC-D的大小为．

（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角．
∵，∴．
又DC=，CE=kCA=2ak，
∴==．
∴．
∴．解得．